Himpunan dan Bilangan

I.  HIMPUNAN

A.      PENGERTIAN HIMPUNAN

Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang telah terdefinisi secara jelas  atau sekumpulan objek yang mempunyai satu kesatuan serta mempunyai keterikatan diantara anggota-anggotanya.

Contoh himpunan:

-          Kumpulan kata dalam kamus

-          Kumpulan buku dalam perpustakaan

Sifat keterikatan yang ada dalam kumpulan tersebut biasa disebut sifat-sifat dari himpunan:

1.       Setiap objek dapat dibedakan dari yang satu dengan yang lainnya yang ada dalam unsur/elemen dari himpunan itu sendiri.

2.       Dapat dibedakan mana anggota himpunan dan mana yang bukan.

Contoh:

Umum:  - himpunan mahasiswa ikip pgri bali yang namanya mulai dari huruf A.

             -himpunan binatang berkaki 2

`           -ilmu geometri berhubungan dengan matematika yang berhubungan dengan titik.

            Khusus: - himpunan bilangan positif

                         -himpunan bilangan real yang x≤5004

                         -himpunan asli yang 2 <x<60

ü Lambang himpunan biasa ditulis sebagai berikut: “A” = {    }

            ɛ = elemen / unsur

B.      MENYATAKAN ATAU MENULIS  SUATU HIMPUNAN

1.       Cara pendaftaran

Suatu cara yang dipergunakan untuk menulis himpunan dengan cara mendaftarkan setiap elemen / unsur dari himpunan tersebut.

Contoh : - himpunan bilangan bulat yang kurang dari sama dengan 18,

ditulis B= {0,1,2,3,...}

 -himpunan binatang berkaki 4, ditulis B= {sapi,babi,anjing,...}

2.       Cara pencirian

Suatu cara yang dipakai untuk menyatakan / menulis himpuna dengan cara menulis karakteristik dari setiap elemen / unsur himpunan tersebut.

Contoh: - himpunan bilangan real  yang 2,005<x≤10,11

                        Dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi  R={x/2,005<x≤10,11;xϵR}

 -himpunan bilangan bulat, dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi: B={x/xϵb}

C.      JUMLAH UNSUR SUATU HIMPUNAN

                        Banyaknya elemen atau unsur yang terkandung didalam himpunan itu sendiri , biasanya di beri simbol “ N(A)”= kardinal.

            Contoh :

1.       A= {a,i,u,é,o,e}

“N(A)”= 6

2.       B= {-2,-1,0,1,2,3,4}

“N(A)”=7

D.      MACAM-MACAM HIMPUNAN

1.       Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki elemen atau unsur. Simbol himpunan kosong

i.  {       }

ii. Ф atau Ǿ

Contoh : - himpunan nama hari yang diawali huruf z

                -himpunan bilangan bulat 4<x<5

                Jika ditulis dengan cara pencirian menjadi : A= {x/x}

2.       Himpunan Bagian

Jika A adalah himpunan, B juga himpunan  maka himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika untuk setiapn x elemen berada dalam himpunan  A dan untuk setiap x elemen pula berada dalam himpunan B.

Simbol : “C”

Contoh :

1.  A={1,3,5,7}

    B=Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 25

    Jadi  ACB

2.   D={0,1,2,3,4}

     E={0,1,2,3,4}

    Jadi DCE merupakan himpunan bagian biasa.

3.   Himpunan Bagian Sejati

Jika A adalah suatu himpunan dan B juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan himpunan bagian yang sejati dari himpunan B , jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan B , paling sedikit sekurang kurangnyaada 1 elemen B Yang tidak berada dalam himpunan A.

Contoh :

1.       A= {1,3,5,7}

       B=Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 25

      Jadi ACB adalah himpunan bagian sejati

4.    Himpunan berhingga

Suatu himpunan yang elemen unsur/ anggotanya dapat dihitung banyaknya atau berhingga  banyaknya. Biasanya untuk menyatakan atau menulis himpunan ini tidak perlu ditulis secara keseluruhan dari elemen-elemennya ,cukup ditulis anggota awalnya serta anggota akhirnya.

Contoh :

1.       A=himpunan bilangan bulat positif < 2000

       Jadi A={0,1,2,3,4,...,1999}

5.    Himpunan Tak Berhingga

Suatu himpunan yang elemen / unsur maupun anggotanya tidak dapat dihitung banyaknya(tak berhingga). Untuk menyatakan / menulis himpunan ini tidak perlu ditulis semuanya ukup ditulis elemen awal  dan titulis 3 titik tanpa ada elemen berikutnya.

Contoh:

1.       Himpunan bilangan asli

      Jadi A= {1,2,3,...}

2.       Himpunan bilangan bulat

      Jadi B={...,-2,-1,0,1,2,3,...}

6.    Himpunan Semesta(S)

Suatu himpunan yang elemen/unsur anggotanya merupakan keseluruhan dari objek objek pembicaraan didalam himpunan itu sendiri.

Contoh :

1.       A= himpunan garis yang saling berpotongan dalam suatu bidang datar

       B= Himpunan suatu kurva yang saling berpotongan dalam suatu bidang datar

       Jadi himpunan semesta adalah kumpulan titik-titik pada suatu bidang datar

7.    Himpunan Complument ( A^c)

Jika S adalah himpunan semesta dan A merupakan suatu himpunan bagian dari himpunan S, Maka A^c adalah suatu himpunan yang elemen atau unsur atau anggotanya adalah yang tidak berada pada himpunan A itu sendiri.

8.    Himpunan Bersandi

Jika A dalah himpunan dan B juga himpunan maka Himpunan A dikatakan himpunan bersandi  dari himpunan B jika dan hanya jika paling sedikitnya ada satu atau lebih unsur atau elemen dari kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama.

Contoh ;

1.       A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

       B= {5,7,9,11,13,15,17}

       Jadi A bersandi B= {5,7,9}

9.    Himpunan Lepas

Jika A adalah suatu Himpunan dan B juga himpunan , maka A dikatakan himpunan lepas dari himpunan b jika dan hanya jiak kedua himpunan tersebut tidak mengandung unsur atau elemen yang saling bersekutu.

Contoh:

1.       A = {x/x bilangan ganjil}

       B = {x/x bilangan genap}

       Jadi A himpunan lepas B

10. Himpunan Sama

Jika A suatu himpunan dan b juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan Himpunan sama dengan himpunan B ,jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan A dan x elemen berada pula pada himpunan B , begitu pula sebaliknya, maka dikatakan himpunan sama.

Contoh :

1.       A={a,i,u,e,o}

       B={u,e,o,a,i}

       Jadi A=B

2.       C={0,1,2,3,4,5,6}

       D= {Himpunan Bilangan bulat positif yang kurang dariu dan sama dengan 6}

       Jadi C=D

11. Himpunan Sederajat

Jika A merupakan suatu himpunan dan b juga merupaakan suatu himpunan, maka himpunan a dikatakan himpunan sederajat dengan himpunan B jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut mempunyai jumlah bilangan kardinal.

Contoh ;

1.       A={a,b,c,d,e,f,g}

       B={0,1,2,3,4,5,6}

       N(A)= 7

       N(B)=7

       N(A)=N(B)

       Jadi A sederajat dengan B

II. BILANGAN

MACAM-MACAM BILANGAN

1.  BILANGAN RIIL (BILANGAN NYATA)

Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

Contoh: {log 10, 5/8, -3, 0, 3,}

2. BILANGAN RASIONAL

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:

a/b dimana a dan b adalah bilangan bulat dan b ¹ 0.

Contoh: {0,-2, 2/7, 5, 2/11,…}

3. BILANGAN IRRASIONAL

Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan dalam pembagian bilangan bulat.

Contoh: {log 3, log 2,…}

4. BILANGAN BULAT

Bilangan bulat adalah bagian dari Bilangan Riil. Bilangan Bulat disebut juga bilangan utuh. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
Contoh = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

5. BILANGAN ASLI

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

Contoh = {1,2,3,4,5,6,......}

6. BILANGAN PRIMA

Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

Contoh = {2,3,5,7,11,13,....}

(1 bukan bilangan prima karena hanya mempunyai satu faktor saja)

7. BILAGAN CACAH

Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

Contoh = {0,1,2,3,4,5,6,....}

8. BILANGAN IMAJINER (BILANGAN KHAYAL)

Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1

Contoh: i, 4i, 5i

9. BILANGAN KOMPLEKS

Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b adalah bilangan Riil , i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.

Contoh: 2-3i, 8+2

10. BILANGAN KOMPOSIT

Bilangan Komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1 dan bukan bilangan prima.

Contoh: {4, 6, 8, 9, 10, 12, ….}